隐函数微分

隐函数微分用于当 $y$ 由方程隐式定义时，不必先把 $y$ 显式解出就求得 $\frac{dy}{dx}$。当解出 $y$ 困难或不可能时尤其有用。

步骤：对方程两边关于 $x$ 微分，将 $y$ 视为 $x$ 的函数（因此每个 $y$ 项依链式法则会带上一个 $\frac{dy}{dx}$），然后解出 $\frac{dy}{dx}$。

示例：对 $x^2 + y^2 = 25$（一个圆）：

1. 对两边微分：$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$。
2. 解出：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。

如此即可得到圆上任一点的斜率，而不需要 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$。

隐函数微分是下列情形的标准工具：

• 并非函数图像之曲线的切线。
• 相关变化率问题（水注入圆锥、梯子沿墙滑下）。
• 对反函数微分（$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的推导用到它）。
• 求解微分方程以及某性质为常数的曲线（等值线）。