Z 分数（标准分数）

Z 分数（标准分数）是某个数值与平均数的距离，以标准差为单位来表示：

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

（样本数据则改用 $\bar{x}$ 与 $s$）。

Z 分数为 $+2$ 表示「在平均数之上两个标准差」；$-1.5$ 表示「在平均数之下 1.5 个标准差」。

Z 分数让你能够：

• 比较来自不同分布的数值——在测验 A（$\mu=70, \sigma=5$）考 80 分的学生（z=2）比在测验 B（$\mu=75, \sigma=10$，z=0.5）考 80 分更为出色。
• 在标准正态分布表中查找概率——P($Z < 1.96$) ≈ 0.975，这是 95% 置信区间的基础。
• 识别离群值——按惯例，在近似正态的数据中 $|z| > 3$ 即标示出一个不寻常的观测值。

标准化（转换为 z 分数）也是机器学习中一个基本的预处理步骤：将输入缩放到平均数 0、标准差 1，有助于梯度下降收敛，并可避免单位较大的特征（例如以美元计的收入相对于以年计的年龄）主宰以距离为基础的模型。