单位圆

单位圆是坐标平面上圆心在原点、半径为 $1$ 的圆：$x^2 + y^2 = 1$。

它的威力在于能将三角学推广到直角三角形之外。对于从正 x 轴逆时针量起的任意角度 $\theta$，单位圆上对应该角度的点为 $(\cos\theta, \sin\theta)$。

仅这一个定义就能给出：

• 对所有实数 $\theta$ 的 $\sin\theta$ 与 $\cos\theta$（不只是 $0° < \theta < 90°$），
• 周期性 $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$，
• 勾股恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（它实际上就是圆的方程），
• $\sin$ 与 $\cos$ 在各象限的正负号。

只要记住第一象限的关键角度（$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$）并运用对称性，就能涵盖整个圆。单位圆是整个三角学中最有用的一张图，非常值得花一节课专门研读。