正态分布

正态分布（或高斯分布）是那条具代表性的钟形连续概率分布。其密度函数：

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

完全由两个参数决定：平均数 $\mu$（位置）与标准差 $\sigma$（离散程度）。

主要性质：

• 对 $\mu$ 对称。
• 68-95-99.7 法则：约 $68\%$ 的数值落在 $1\sigma$ 以内，$95\%$ 落在 $2\sigma$ 以内，$99.7\%$ 落在 $3\sigma$ 以内。
• 标准正态分布 $N(0, 1)$ 是标准参考；任何正态分布都可透过 $z = (x - \mu)/\sigma$ 加以标准化。

正态分布之所以无所不在，是因为中心极限定理：许多独立随机变量之和，无论个别分布为何，都趋近于正态分布。这使它成为测量误差、IQ、身高、考试分数的默认模型，并成为置信区间、假设检验与高斯过程的基础。