偏导数

对于多变量函数 $f(x, y, z, \ldots)$，对 $x$ 的偏导数为

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y, \ldots) - f(x, y, \ldots)}{h},$

此时把其余所有变量都视为常数。记号：$\partial$（圆体的“d”，读作“del”）用来和全导数区别。

例：$f(x, y) = x^2 y + 3y$。则 $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$（把 $y$ 视为常数），而 $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$。

偏导数是多变量微积分的基本构件。梯度 $\nabla f = (\partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \ldots)$ 指向最陡峭的上升方向——是机器学习中梯度下降法的基础。偏微分方程用来建立热、波、流体、电磁学与量子力学的模型。