学生 t 分布

学生 t 分布是一种连续概率分布，外型类似正态分布——钟形、对称——但尾部更厚。它取决于一个称为**自由度（df）**的参数。

使用时机：对总体均值进行推断，且 (1) 总体标准差 $\sigma$ 未知（以样本的 $s$ 估计），且 (2) 样本量 $n$ 较小时。

t 统计量：$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n - 1$ 的 t 分布。

性质：当 $df \to \infty$ 时，t 分布收敛至标准正态分布 $N(0, 1)$。当 $df < 30$ 时，厚尾会显著加宽置信区间——这是不知道 $\sigma$ 所付出的「代价」。

历史：由威廉·戈塞特于健力士酿酒厂提出（因健力士禁止员工发表著作，故以笔名「Student」发表）。它是 t 检验（单样本、双样本、配对）以及方差未知时均值置信区间的基础。