余弦定理

余弦定理把勾股定理推广到任意三角形：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

其中 $c$ 是角 $C$ 的对边，$a, b$ 为另外两边。对称地：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$。

特殊情形：当 $C = 90°$ 时，$\cos 90° = 0$，公式退化为 $c^2 = a^2 + b^2$——即勾股定理。

使用情境：

• SSS：已知三边，求一个角：$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。
• SAS：已知两边及其夹角，直接求第三边。

它与正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ 相辅相成。两者合起来可处理解三角形的全部四种情形（SSS、SAS、ASA、AAS）——只有 SSA（模棱两可的情形）需要额外注意。

余弦定理也是向量分析中**点积（内积）**的几何来源：$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$。