calculus

洛必达法则

洛必达法则通过把极限替换为导数之比的极限,来求解形如 0/0 或 ∞/∞ 的不定型极限。

洛必达法则指出,若 limxaf(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} 为不定型 00\frac{0}{0}\frac{\infty}{\infty},则

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

只要右侧极限存在(或为 ±\pm\infty)即成立。

该法则仅适用于这两种不定型。其他不定型(00 \cdot \infty\infty - \infty11^\infty000^00\infty^0)必须先改写为 00\frac{0}{0}\frac{\infty}{\infty} 的形式。

若新的极限仍为不定型,可能需要反复使用该法则。它常能把原本困难的极限大幅简化,例如 limx0sinxx=limx0cosx1=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1

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