相关

相关衡量两个变量 $X$ 与 $Y$ 之间线性关系的强度与方向。皮尔逊相关系数：

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} \in [-1, 1]$

解释：

• $r = 1$：完全正向的线性关系。
• $r = -1$：完全负向的线性关系。
• $r = 0$：没有线性关系（但仍可能存在非线性关系！）。
• $|r| > 0.7$：强；$0.3 < |r| < 0.7$：中等；$|r| < 0.3$：弱。

关键注意事项：

• 相关不等于因果。冰淇淋销量与溺水死亡人数相关——两者皆由炎热天气所驱动。
• 对离群值敏感。单一个极端点就可能使 $r$ 翻转。
• 仅限线性。完全的二次关系 $y = x^2$ 在对称数据附近会得到 $r \approx 0$。

对于排名型／非线性的单调关系，使用斯皮尔曼 $\rho$。对于类别型关联，使用卡方或克拉默 V。