泰勒级数

函数 $f$ 在点 $a$ 附近的泰勒级数为

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

当 $a = 0$ 时，此级数称为麦克劳林级数。

著名的展开式：

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$（当 $|x| < 1$ 时）。

将级数在次数 $n$ 处截断会得到一个多项式近似。这正是计算器内部计算三角函数与指数函数的方式，也是物理学近似“小角度”或“低速”行为的方法。只要函数无限可微且余项趋近于零，泰勒级数在该处便存在。