对数

对数是指数运算的逆运算。式子 $\log_a b = c$ 恰好表示 $a^c = b$——对数回答“要得到 $b$，必须把 $a$ 提升到几次幂？”

常用底数：

• $\log_{10}$（常用对数）——用于 pH 值、分贝、里氏震级。
• $\ln = \log_e$（自然对数）——微积分与连续增长模型。
• $\log_2$ ——计算机科学、信息论。

关键性质：

• $\log(xy) = \log x + \log y$（把乘积变为求和）
• $\log(x^n) = n \log x$（把幂变为乘积）
• 换底公式：对任意参考底数有 $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$。

对数把巨大的范围（地月距离 对 原子宽度）压缩到便于处理的尺度，并把指数型数据线性化——这就是科学中对数坐标轴图如此常见的原因。