反常积分

反常积分至少具备下列其一：

1. 无穷限：$\int_a^\infty f(x) \, dx$ 或 $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$。
2. 在 $[a, b]$ 某处被积函数无界（垂直渐近线）。

两者皆以正常积分的极限来计算：

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

若极限有限则收敛；否则发散。

著名例子：

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗（衰减较慢者发散）
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ —— 高斯积分。

收敛判别法（比较判别法、p 判别法）用来判断是否值得进行积分。反常积分出现于概率论（概率密度函数的归一化）、傅里叶变换与物理学中。