黎曼和

黎曼和通过将区间分割成 $n$ 个宽度为 $\Delta x = (b-a)/n$ 的子区间，并将 $n$ 个矩形的面积相加，来逼近 $[a, b]$ 上曲线 $y = f(x)$ 下的面积：

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

其中 $x_i^*$ 是第 $i$ 个子区间中的取样点。常见选法：

• 左黎曼和：$x_i^* = a + (i-1)\Delta x$。
• 右黎曼和：$x_i^* = a + i \Delta x$。
• 中点法则：子区间的中点（更精确）。

当 $n \to \infty$（矩形变得任意细）时，若 $f$ 可积，则黎曼和收敛到定积分：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

这个积分的定义将离散求和与连续面积联系起来，也说明了积分符号 $\int$ 作为求和（sum）之“拉长的 S”的由来。黎曼和也是一切数值积分（梯形法则、辛普森法则）的基础。