Math Glossary

ظل تمام، ظل کا معکوس ہے: cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)۔ نطاق سے وہ زاویے خارج رہتے ہیں جہاں sin = 0 ہوتا ہے۔

کوسیکینٹ سائن کا معکوس ہے: csc(θ) = 1/sin(θ)۔ ڈومین ان زاویوں کو خارج کرتا ہے جہاں sin = 0 ہو (یعنی π کے مضاعفات)۔

قاطع، جیب تمام کا معکوس ہے: sec(θ) = 1/cos(θ)۔ نطاق سے وہ زاویے خارج رہتے ہیں جہاں cos = 0 ہوتا ہے (π/2 + kπ)۔

t-تقسیمہ معمول کی طرح گھنٹی نما ہوتا ہے مگر اس کی دُمیں بھاری ہوتی ہیں۔ اوسطوں کے بارے میں استدلال کے لیے استعمال ہوتا ہے جب نمونے کا حجم چھوٹا ہو یا σ نامعلوم ہو۔

z ‑سکور ماپتا ہے کہ کوئی قدر اوسط سے کتنے معیاری انحرافات اوپر یا نیچے ہے۔ z = (x − μ) / σ۔ مختلف تقسیموں کے درمیان اقدار کا موازنہ کرنے اور احتمالات معلوم کرنے کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

احداثی نظام فضا کے نقطوں کو اعداد تفویض کرتا ہے۔ دو ابعاد میں کارٹیزی (x, y) سب سے عام ہے؛ دائروی تشاکل کے لیے قطبی (r, θ) استعمال ہوتا ہے۔

ارتباط دو متغیرات کے درمیان خطی تعلق کی طاقت اور سمت کو ناپتا ہے۔ پیئرسن عددِ ضرب r، [-1, 1] میں ہوتا ہے: 1 = کامل مثبت، -1 = کامل منفی، 0 = کوئی خطی تعلق نہیں۔

اکائی دائرہ وہ دائرہ ہے جس کا نصف قطر 1 ہو اور مرکز اصل نقطے پر ہو۔ یہ مثلثیاتی فنکشنز کو تمام حقیقی زاویوں کے لیے بیان کرتا ہے، نہ صرف قائمہ زاویوں کے لیے۔

اوسط — جسے حسابی اوسط بھی کہتے ہیں — اقدار کے مجموعے کو اقدار کی تعداد پر تقسیم کرنے سے حاصل ہوتا ہے۔ یہ کسی ڈیٹا سیٹ کا سب سے عام واحد عددی خلاصہ ہے۔

بایز کا نظریہ مشروط احتمالات کو الٹ دیتا ہے: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)۔ یہ بایزی استدلال، طبی جانچ اور مشین لرننگ کی بنیاد ہے۔

کیلکولس میں بہینہ سازی کا مطلب کسی فنکشن کی زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم قدریں تلاش کرنا ہے۔ نازک نقاط معلوم کرنے کے لیے f'(x) = 0 رکھیں، پھر زیادہ سے زیادہ/کم سے کم کی جانچ کریں۔

پی-قدر وہ احتمال ہے کہ فرضیہ عدم کے سچ ہونے پر آپ کے نمونے جتنا انتہائی ڈیٹا دیکھا جائے۔ چھوٹی p قدر H₀ کے خلاف شواہد کا مطلب ہے۔

کثیر متغیر فلن f(x,y,...) کی تدریج جزوی تفرقات کا سمتیہ ہے۔ یہ سب سے کھڑی چڑھائی کی سمت کی طرف اشارہ کرتی ہے اور تدریجی نزول کی بنیاد ہے۔

کوئی فنکشن کسی نقطے پر متصل ہوتا ہے اگر وہاں اس کی قدر اس حد کے برابر ہو جس کی طرف اس کی قدریں اُس وقت بڑھتی ہیں جب ان پٹ اُس نقطے کے قریب پہنچیں — کوئی چھلانگ، سوراخ یا مقارب نہ ہو۔

تغیر کسی ڈیٹاسیٹ کے اوسط کے گرد پھیلاؤ کو ناپتا ہے۔ یہ مربع انحرافات کی اوسط ہے۔ معیاری انحراف تغیر کا مربع جذر ہوتا ہے۔

کسی سمتیہ میدان کا تفرق ہر نقطے پر خالص "بیرونی بہاؤ" ناپتا ہے۔ ∇·F > 0 منبع ظاہر کرتا ہے؛ < 0 مصب۔ یہ سیال حرکیات اور برقی مقناطیسیت کی بنیاد ہے۔

کوئی ترتیب یا سلسلہ متقارب ہوتا ہے اگر وہ کسی متناہی حد کے قریب پہنچے۔ ورنہ وہ متفرق ہوتا ہے۔ تقارب کے ٹیسٹ یہ طے کرتے ہیں کہ کون سی صورت لاگو ہوتی ہے۔

تکامل جمع کا متصل مماثل ہے — عام طور پر کسی منحنی کے نیچے کا رقبہ۔ معیّن تکامل اعداد دیتے ہیں؛ غیر معیّن تکامل ضد مشتق فنکشنز دیتے ہیں۔

ٹیلر سیریز ایک ہموار فنکشن کو ایک نقطے پر اس کے مشتقات سے بنے لامحدود کثیر الحدود کی صورت میں تقریب دیتی ہے۔ کاٹنے سے کثیر الحدود تقریبات ملتی ہیں۔

جذر ایک مرتبہ کو ظاہر کرتا ہے: √a مربع جذر، ∛a مکعب جذر، اور ⁿ√a n-ویں جذر ہے۔ جذر، گھاتیاری کا معکوس ہے۔

جزوی مشتق ناپتا ہے کہ کثیر متغیر فنکشن میں صرف ایک متغیر بدلنے پر فنکشن کیسے بدلتا ہے، باقی ثابت رکھتے ہوئے۔ علامت: ∂f/∂x۔

جیب، جیب تمام اور ظل تین بنیادی مثلثی فلن ہیں، جنہیں قائم الزاویہ مثلث کے اضلاع کی نسبتوں کے طور پر بیان کیا جاتا ہے اور دائرۂ واحد کے ذریعے تمام حقیقی اعداد تک وسعت دی جاتی ہے۔

چوتھائیاں کسی ڈیٹا سیٹ کو چار برابر حصوں میں تقسیم کرتی ہیں۔ Q1 (25واں صدک)، Q2 (وسطانیہ، 50واں)، Q3 (75واں)۔ بین چوتھائی پھیلاؤ Q3-Q1 پھیلاؤ کی ایک مضبوط پیمائش ہے۔

حجم کسی ٹھوس کے زیر قبضہ تین جہتی فضا کی پیمائش کرتا ہے۔ اکائیاں مکعب ہیں (cm³، m³)۔ ہر شکل کا اپنا فارمولا ہے؛ حساب انضمام کے ذریعے اسے عمومی بناتا ہے۔

حد اس قدر کو بیان کرتی ہے جس کی طرف کوئی فنکشن اس وقت بڑھتا ہے جب اس کا ان پٹ کسی ہدف کے جتنا چاہیں قریب پہنچے — ضروری نہیں کہ پہنچ جائے۔ حدیں مشتقات اور تکاملات دونوں کی بنیاد ہیں۔

خطی مساوات وہ مساوات ہے جس کا گراف سیدھی لکیر ہو۔ ایک متغیر میں: ax + b = 0۔ دو متغیرات میں: ax + by = c۔

دائرہ کسی مستوی میں ان تمام نقاط کا مجموعہ ہے جو ایک مرکز سے مساوی فاصلے پر ہوں۔ یہ مستقل فاصلہ نصف قطر کہلاتا ہے؛ مرکز سے گزرنے والا سب سے لمبا وتر قطر (2× نصف قطر) ہے۔

فنکشن کا دائرہ تمام درست اِن پُٹ قدروں کا مجموعہ ہے؛ سلسلہ تمام ممکنہ آؤٹ پُٹ قدروں کا مجموعہ ہے۔ دونوں مل کر مکمل طور پر بیان کرتے ہیں کہ فنکشن کیا نقشہ بناتا ہے۔

دور وہ اُفقی طول ہے جس پر کوئی مثلثی فلن ایک مکمل چکر پورا کرتا ہے۔ sin اور cos کا دور 2π ہوتا ہے؛ tan کا دور π ہوتا ہے۔

ذو ثلاثہ حدین ٹھیک تین حدوں والا کثیر رکنی ہوتا ہے، مثلاً x² + 5x + 6۔ عوامل میں توڑنے کی مشق میں سب سے زیادہ سامنے آنے والی قسم۔

ذو حدین ٹھیک دو حدوں والا کثیر رکنی ہوتا ہے، جیسے x + 3 یا 2x² - 5۔ یہ یک حدی (1 حد) اور ذو ثلاثہ حدین (3 حد) سے ممتاز ہے۔

رجعت ڈیٹا پر ایک سیدھی لکیر y = mx + b فٹ کرتی ہے۔ یہ لکیر نقاط تک کی عمودی فاصلوں کے مربعوں کے مجموعے کو کم سے کم کرتی ہے (کم از کم مربعات)۔

رقبہ کسی دو جہتی خطے کی جسامت ناپتا ہے — یہ کتنی سطح کا احاطہ کرتا ہے۔ اکائیاں مربع ہوتی ہیں (cm²، m²)۔ ہر شکل کا اپنا رقبے کا فارمولا ہوتا ہے۔

ریڈین وہ زاویہ ہے جو اس قوس سے بنتا ہے جس کی لمبائی نصف قطر کے برابر ہو۔ پورا دائرہ 2π ریڈین (≈ 6.28) ہے۔ حسابیات کے لیے ضروری اکائی۔

ریمان مجموعہ کسی منحنی کے نیچے کے رقبے کا تخمینہ خطے کو مستطیلوں میں تقسیم کر کے لگاتا ہے۔ جیسے جیسے مستطیل پتلے ہوتے جاتے ہیں، یہ مجموعہ معیّن تکمیل کی طرف متقارب ہوتا ہے۔

زاویہ دو شعاعوں کے درمیان گردش کو ناپتا ہے جو ایک مشترک نقطۂ انتہا (راس) رکھتی ہیں۔ عام اکائیاں: درجے (مکمل دائرہ = 360°) اور ریڈین (مکمل دائرہ = 2π)۔

سطحی رقبہ تین جہتی ٹھوس کے تمام فلکوں کا کل رقبہ ہے۔ حجم سے مختلف: سطحی رقبہ مربع اکائیوں (cm²) میں ہے، حجم مکعب میں۔

سلسلہ کسی تسلسل کا مجموعہ ہے — محدود یا لامحدود۔ آیا کوئی لامحدود سلسلہ کسی محدود عدد تک جمع ہوتا ہے، اس کا فیصلہ تقاربی آزمائشوں سے ہوتا ہے۔

سمتیہ ایک ایسی مقدار ہے جس میں مقدار (میگنیٹیوڈ) اور سمت دونوں ہوتے ہیں۔ علامت: ⟨x, y⟩ یا ⟨x, y, z⟩۔ سمتیے جزو بہ جزو جمع ہوتے ہیں اور طبیعیات، گرافکس اور مشین لرننگ کی بنیاد ہیں۔

شبہ ذو منحرف ایک ایسا چار ضلعی شکل ہے جس میں متوازی اضلاع کا کم از کم ایک جوڑا (جنہیں قاعدے کہا جاتا ہے) ہوتا ہے۔ رقبہ = (1/2)(b₁+b₂)h.

k واں صدک وہ قدر ہے جس سے نیچے مشاہدات کا k% آتا ہے۔ 50 واں صدک وسطانیہ ہے؛ 25 واں اور 75 واں چوتھک ہیں۔

ضریب کسی بیجگانی تعبیر میں متغیر کے آگے لگا ہوا عددی عامل ہے۔ 5x² میں ضریب 5 ہے۔

ضمنی تفریق dy/dx معلوم کرتی ہے جب y کسی مساوات (جیسے x²+y²=25) کے ذریعے ضمنی طور پر متعیّن ہو، بغیر اس کے کہ پہلے y کے لیے حل کیا جائے۔

طور کی منتقلی کسی متواتر فلن کا افقی انتقال ہے۔ y = sin(Bx + C) کے لیے طور کی منتقلی -C/B ہوتی ہے (مثبت = دائیں، منفی = بائیں)۔

کسی تعبیر کو عوامل میں تحلیل کرنا یعنی اسے سادہ تر تعبیرات کے حاصل ضرب کے طور پر دوبارہ لکھنا، مثلاً x²+5x+6 = (x+2)(x+3)۔ یہ پھیلاؤ کا الٹ عمل ہے۔

غیر اصل تکامل کی یا تو کوئی حد لامتناہی ہوتی ہے یا تکامل والا دالہ وقفے میں کہیں غیر محدود ہوتا ہے۔ اسے اصل تکاملوں کی حد کے طور پر نکالا جاتا ہے۔

فنکشن ایک قاعدہ ہے جو ہر ان پٹ کو بالکل ایک آؤٹ پٹ تفویض کرتا ہے۔ علامت: f(x) = ... کا مطلب ہے "جب x ان پٹ ہو تو f کا آؤٹ پٹ"۔

فیثاغورث کا نظریہ کہتا ہے کہ کسی بھی قائم الزاویہ مثلث میں وتر کا مربع باقی دو اضلاع کے مربعوں کے مجموعے کے برابر ہوتا ہے: a² + b² = c²۔

قانون سائن کسی بھی مثلث کی اطراف کو مخالف زاویوں کے سائن سے جوڑتا ہے: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)۔

قانونِ کوسائن فیثا غورث کے مسئلے کو کسی بھی مثلث تک عام کر دیتا ہے: c² = a² + b² − 2ab cos(C)۔ SSS یا SAS مثلث کے مسائل کے لیے استعمال کریں۔

قوت نما ظاہر کرتا ہے کہ کسی بنیاد کو خود سے کتنی بار ضرب دیا جاتا ہے۔ aⁿ میں n قوت نما اور a بنیاد ہے۔ مثال: 2³ = 2·2·2 = 8۔

کثیر وہ قدر ہے جو ڈیٹاسیٹ میں سب سے زیادہ بار ظاہر ہوتی ہے۔ ڈیٹاسیٹ میں ایک کثیر، متعدد کثیر یا کوئی کثیر نہیں ہو سکتا۔ زمرہ جاتی ڈیٹا کے لیے مفید۔

کثیر الاضلاع ایک بند 2D شکل ہے جس کے اضلاع سیدھے ہوتے ہیں۔ عام اقسام: مثلث (3)، رباعی (4)، پنجہ ضلعی (5)، شش ضلعی (6) وغیرہ۔

کثیر رکنی پدوں کا مجموعہ ہے، جس میں ہر پد ایک مستقل کا متغیر کی غیر منفی صحیح قوت سے حاصل ضرب ہوتا ہے۔ مثالیں: 3x²+2x-7، x³-4x+1۔

کسی کثیر رکنی کا درجہ اس کے متغیر پر سب سے بڑا اُس (پاور) ہوتا ہے۔ درجہ 1 = خطی، 2 = دو درجی، 3 = سہ درجی، 4 = چہار درجی۔

کسی سمتیہ میدان کا کرل مقامی گردش ناپتا ہے۔ ∇×F ایک ایسا سمتیہ دیتا ہے جو گردش محور کے ساتھ اشارہ کرتا ہے اور جس کا مقدار گردش کی شرح کے متناسب ہوتا ہے۔

لاگرتھم قوت نمائی کا الٹ عمل ہے: log_a(b) = c کا مطلب ہے a^c = b۔ یہ اس سوال کا جواب دیتا ہے کہ "a کی کون سی قوت b دیتی ہے؟"

لوپیتال کا قاعدہ 0/0 یا ∞/∞ کی صورت والی غیر متعین حدوں کو حل کرتا ہے، اس حد کی جگہ مشتقات کی نسبت کی حد رکھ کر۔

متعلقہ شرحوں کے مسائل کسی مساوات سے جڑے دو یا زیادہ متغیرات کی شرحِ تبدیلی کو آپس میں جوڑتے ہیں۔ وقت کے حوالے سے ضمنی تفریق استعمال کریں۔

متوازی الاضلاع ایک چار ضلعی شکل ہے جس کے متقابل اضلاع کے دونوں جوڑے متوازی ہوتے ہیں۔ مستطیل، معین اور مربع اس کی خاص صورتیں ہیں۔

مثلث تین اضلاع والا کثیر الاضلاع ہے جس کے داخلی زاویوں کا مجموعہ ہمیشہ 180° ہوتا ہے۔ اسے اضلاع کے لحاظ سے (متساوی الاضلاع، متساوی الساقین، مختلف الاضلاع) یا زاویوں کے لحاظ سے (حادہ، قائمہ، منفرجہ) درجہ بند کیا جاتا ہے۔

مثلثاتی شناختیں ایسی مساواتیں ہیں جو مثلثاتی دالوں کو آپس میں جوڑتی ہیں اور تمام درست زاویوں کے لیے قائم رہتی ہیں، مثلاً sin²θ + cos²θ = 1۔ یہ تاثیروں کو سادہ کرنے اور مساواتیں حل کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔

محیط دو جہتی شکل کے گرد کل لمبائی ہے۔ دائرے کے لیے محیط کو دائرے کی گول محیط کہا جاتا ہے: C = 2πr۔

مربع کائی ٹیسٹ زمرہ وار اعداد و شمار میں مشاہدہ شدہ گنتیوں کا متوقع گنتیوں سے موازنہ کرتا ہے۔ χ² = Σ(O−E)²/E۔ یہ گُڈنیس آف فٹ اور آزادی کے ٹیسٹوں کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

مربعی مساوات ایک متغیر میں دوسرے درجے کی کثیر رکنی مساوات ہے، جسے ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) کے طور پر لکھا جاتا ہے۔ اس کا گراف ایک قطع مکافی ہوتا ہے۔

مشتق کسی فنکشن کی لمحاتی شرحِ تبدیلی کو ناپتا ہے — مساوی طور پر، یہ کسی ایک نقطے پر فنکشن کے گراف کے مماس کی ڈھلان ہے۔

دو اشکال مطابق ہوتی ہیں اگر ایک کو سخت حرکت (انتقال، گردش، انعکاس) کے ذریعے دوسری میں تبدیل کیا جا سکے — یکساں شکل اور یکساں حجم۔

مطلق قدر |x| اعداد کی لکیر پر x سے 0 تک کا فاصلہ ہے — ہمیشہ غیر منفی۔ |3| = 3، |-3| = 3۔

معکوس مثلثی فلنکشن (arcsin, arccos, arctan) مثلثی نسبت سے زاویہ بازیاب کرتے ہیں۔ arcsin(y) = x کا مطلب ہے sin(x) = y، محدود نتیجہ کی حد کے ساتھ۔

معمول تقسیم (گاؤسی) ایک گھنٹی نما احتمال منحنی ہے جو اپنے اوسط μ اور معیاری انحراف σ سے مکمل بیان ہوتی ہے۔ شماریات کے بیشتر حصے کی بنیاد۔

معیاری انحراف ناپتا ہے کہ کوئی ڈیٹا سیٹ اپنے اوسط کے گرد کتنا پھیلا ہوا ہے۔ چھوٹا معیاری انحراف اقدار کے قریب ہونے اور بڑا منتشر ہونے کو ظاہر کرتا ہے۔

مفروضے کی جانچ نمونہ ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے کسی آبادی کے بارے میں دو مقابل دعووں کے درمیان فیصلہ کرتی ہے۔ ہم ایک ٹیسٹ شماریہ نکالتے ہیں اور اگر p ‑قدر چھوٹی ہو تو کالعدم مفروضہ مسترد کر دیتے ہیں۔

دو شکلیں مماثل ہوتی ہیں اگر ایک دوسری کی پیمانہ بدلی ہوئی نقل ہو — وہی شکل، ممکنہ طور پر مختلف حجم۔ تمام متناظر زاویے برابر ہوتے ہیں؛ تمام متناظر اضلاع متناسب ہوتے ہیں۔

ایک مماس خط کسی منحنی کو بالکل ایک نقطے پر چھوتا ہے اور وہاں منحنی کی سمت سے ہم آہنگ ہوتا ہے۔ دائروں کے لیے، مماس نقطۂ مماس پر نصف قطر کے عمودی ہوتا ہے۔

ناطق اظہار ایک ایسا کسر ہے جس کا شمار کنندہ اور نسب نما کثیر رکنی ہوتے ہیں، مثلاً (x²-1)/(x+2)۔ عوامل میں توڑ کر اور مشترک عوامل کاٹ کر سادہ کیا جاتا ہے۔

نامساوات دو تعبیرات کا موازنہ <، ≤، > یا ≥ سے کرتی ہے۔ حل عددی لکیر پر وقفوں یا وقفوں کے اتحاد پر مشتمل ہوتے ہیں۔

وسطانیہ کسی ترتیب شدہ ڈیٹا سیٹ کی درمیانی قدر ہے۔ جفت تعداد والے ڈیٹا کے لیے یہ دو درمیانی قدروں کا اوسط ہوتا ہے۔ یہ غیر معمولی قدروں کے خلاف مضبوط ہے۔

وسطی قدر کا مسئلہ بیان کرتا ہے کہ [a,b] پر کسی ہموار فنکشن کے لیے ایک نقطہ c موجود ہوتا ہے جہاں f′(c) اوسط شرحِ تبدیلی (f(b)−f(a))/(b−a) کے برابر ہوتا ہے۔

وسعت کسی موج کا اپنے مرکز سے زیادہ سے زیادہ انحراف ہے۔ y = A sin(Bx) کے لیے وسعت |A| ہے۔ زیادہ وسعت = اونچی موج۔

وقفۂ اعتماد کسی آبادی کے پیرامیٹر کے لیے قابلِ قبول قدروں کی ایک حد دیتا ہے، ایک بیان کردہ سطحِ اعتماد (مثلاً 95%) کے ساتھ جو طریقہ کار کی طویل مدتی قابلِ اعتماد ہونے کی صفت بیان کرتی ہے۔