قانون سائن کسی بھی مثلث (صرف قائمۃ الزاویہ نہیں) پر لاگو ہوتا ہے:

$rac{a}{sin A} = rac{b}{sin B} = rac{c}{sin C} = 2R$

جہاں $a, b, c$ مخالف زاویوں $A, B, C$ کی اطراف کی لمبائیاں ہیں اور $R$ محیطی دائرے کا نصف قطر ہے۔

استعمال کے معاملات:

AAS یا ASA: دو زاویے اور ایک ضلع دے کر باقی اضلاع نکالیں
SSA (ابہامی معاملہ): دو اضلاع اور ایک غیر مشمولہ زاویہ دے کر — صفر، ایک، یا دو مثلث ممکن ہیں — ہمیشہ جانچیں

قانون کوسائن $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$ SSS اور SAS معاملات کا جوڑی نظریہ ہے۔ دونوں قوانین مل کر کوئی بھی مثلث مکمل طور پر حل کر سکتے ہیں: کوئی بھی تین آزاد قدریں دی جائیں تو آپ چھ قدریں (3 اضلاع + 3 زاویے) نکال سکتے ہیں۔

ثبوت: کسی ایک کونے سے عمود کھینچیں، اس کی لمبائی ایک طرف سے $b sin A$ اور دوسری طرف سے $a sin B$ ماپتی ہے، انہیں برابر کرنے سے $a/sin A = b/sin B$

قانون سائن

قانون سائن کسی بھی مثلث کی اطراف کو مخالف زاویوں کے سائن سے جوڑتا ہے: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)۔