قانونِ کوسائن

قانونِ کوسائن فیثا غورث کے مسئلے کو کسی بھی مثلث تک عام کر دیتا ہے:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

جہاں $c$ زاویہ $C$ کے مقابل ضلع ہے، اور $a, b$ باقی دو اضلاع ہیں۔ متناظر طور پر: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$، $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$۔

خاص صورت: جب $C = 90°$ ہو تو $\cos 90° = 0$، اور فارمولا سمٹ کر $c^2 = a^2 + b^2$ — فیثا غورث کا مسئلہ — بن جاتا ہے۔

استعمال کے مواقع:

• SSS: تینوں اضلاع معلوم ہوں تو کوئی زاویہ نکالیں: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$۔
• SAS: دو اضلاع اور اُن کے درمیانی زاویہ معلوم ہوں تو تیسرا ضلع براہِ راست نکالیں۔

یہ قانونِ سائن $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ کا ساتھی ہے۔ دونوں مل کر مثلث حل کرنے کی چاروں صورتوں (SSS، SAS، ASA، AAS) کو سنبھالتے ہیں — صرف SSA (مبہم صورت) میں اضافی احتیاط درکار ہوتی ہے۔

قانونِ کوسائن سمتیہ تجزیے میں نقطہ ضرب کا ہندسی منبع بھی ہے: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$۔