غیر اصل تکامل

ایک غیر اصل تکامل میں مندرجہ ذیل میں سے کم از کم ایک ہوتا ہے:

1. لامتناہی حد: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ یا $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$۔
2. $[a, b]$ میں کہیں غیر محدود تکامل والا دالہ (عمودی مقارب)۔

دونوں کو اصل تکاملوں کی حدود کے طور پر نکالا جاتا ہے:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

اگر حد متناہی ہو تو یہ متقارب ہوتا ہے؛ ورنہ متفرق ہوتا ہے۔

مشہور مثالیں:

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (سست تر زوال متفرق ہوتا ہے)
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — گاؤسی تکامل۔

تقارب کے ٹیسٹ (موازنہ ٹیسٹ، p-ٹیسٹ) یہ طے کرتے ہیں کہ تکامل کرنے کی زحمت کرنی چاہیے یا نہیں۔ غیر اصل تکامل احتمال (احتمالی کثافت دالے کی نارملائزیشن)، فوریئر تبدیلیوں، اور طبیعیات میں ظاہر ہوتے ہیں۔