سلسلہ (لامحدود مجموعہ)

سلسلہ کسی تسلسل کے پدوں کا مجموعہ ہے۔ محدود سلسلہ $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ محض عام جمع ہے۔ لامحدود سلسلہ $\sum_{i=1}^\infty a_i$ جزوی مجموعوں $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ کی حد ہے جب $n \to \infty$۔

اگر $\lim_{n\to\infty} S_n$ موجود اور محدود ہو، تو سلسلہ متقارب ہوتا ہے؛ ورنہ یہ متباعد ہوتا ہے۔ مشہور مثالیں:

• ہندسی سلسلہ $\sum r^n$ $|r| < 1$ کے وقت $\frac{1}{1-r}$ کی طرف متقارب ہوتا ہے۔
• توافقی سلسلہ $\sum \frac{1}{n}$ (آہستہ آہستہ) متباعد ہوتا ہے۔
• بازل مسئلہ: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$۔

تقارب کا فیصلہ آزمائشوں سے ہوتا ہے: نسبتی آزمائش، جذری آزمائش، تکاملی آزمائش، تقابلی آزمائش، متبادل نشان سلسلہ آزمائش۔ ٹیلر سلسلہ فنکشنز کو دلخواہ بلند درجے کی کثیر رکنیوں سے تقریب دیتا ہے — عددی تجزیہ اور طبیعیات کی تقریبات کی بنیاد۔