وسطی قدر کا مسئلہ

وسطی قدر کا مسئلہ (MVT) کیلکولس کا ایک بنیادی نتیجہ ہے۔ اگر $f$، $[a, b]$ پر متصل اور $(a, b)$ پر قابلِ تفریق ہو، تو کم از کم ایک نقطہ $c \in (a, b)$ ایسا موجود ہوتا ہے کہ

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

ہندسی طور پر: $c$ پر مماس خط، $(a, f(a))$ اور $(b, f(b))$ سے گزرنے والے قاطع خط کے متوازی ہوتا ہے۔

وجدان (ڈرائیونگ کی تشبیہ): اگر آپ 1 گھنٹے میں 60 میل کا فاصلہ طے کرتے ہیں تو آپ کی اوسط رفتار 60 میل فی گھنٹہ ہے؛ MVT اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ کسی لمحے آپ کی فوری رفتار بالکل 60 میل فی گھنٹہ تھی۔

MVT درج ذیل کے پیچھے کارفرما ہے:

• بڑھنے/گھٹنے کا امتحان ($f' > 0 \implies$ بڑھتا ہوا)۔
• کیلکولس کے بنیادی مسئلے کا ثبوت۔
• عددی طریقوں میں خطا کی حدود (باقی پد کے ساتھ ٹیلر کا مسئلہ)۔
• تفرقی مساوات کے لیے یکتائی کے مسائل۔

ایک خاص صورت ($f(a) = f(b)$) رول کا مسئلہ ہے: ایک ایسا $c$ ہوتا ہے جہاں $f'(c) = 0$۔