تقارب

تقارب اس صورت کو بیان کرتا ہے جب کوئی ترتیب یا سلسلہ کسی متناہی حد کے قریب پہنچتا ہے۔

ترتیب: $\{a_n\}$ کا $L$ پر تقارب ہوتا ہے اگر ہر $\varepsilon > 0$ کے لیے ایسا $N$ موجود ہو کہ تمام $n > N$ کے لیے $|a_n - L| < \varepsilon$ ہو۔

سلسلہ: $\sum a_n$ متقارب ہوتا ہے اگر اس کے جزوی مجموعے $S_n$ متقارب ہوں۔

معیاری ٹیسٹ:

• n-واں رکن ٹیسٹ: $a_n \not\to 0$ → متفرق۔
• ہندسی سلسلہ: $\sum r^n$ صرف اور صرف اسی صورت متقارب ہوتا ہے جب $|r| < 1$۔
• موازنہ ٹیسٹ: کسی معلوم سلسلے سے قید کرنا۔
• نسبت ٹیسٹ: $\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → متقارب۔
• تکامل ٹیسٹ: $\sum a_n$ کو $\int_1^\infty f(x) dx$ سے جوڑتا ہے۔
• متبادل سلسلہ ٹیسٹ: $\sum (-1)^n b_n$ متقارب ہوتا ہے اگر $b_n \to 0$ یک رخی طور پر ہو۔

مطلق تقارب ($\sum |a_n|$ متقارب) مشروط تقارب سے قوی تر ہے۔ توافقی سلسلہ $\sum 1/n$ متفرق ہوتا ہے؛ $\sum (-1)^n/n$ متقارب ہوتا ہے (متبادل)۔