ریمان مجموعہ

ایک ریمان مجموعہ، $[a, b]$ پر منحنی $y = f(x)$ کے نیچے کے رقبے کا تخمینہ، وقفے کو $\Delta x = (b-a)/n$ چوڑائی کے $n$ ذیلی وقفوں میں تقسیم کر کے اور $n$ مستطیلوں کے رقبوں کو جمع کر کے لگاتا ہے:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

جہاں $x_i^*$، $i$ ویں ذیلی وقفے میں ایک نمونہ نقطہ ہے۔ عام انتخاب:

• بائیں ریمان مجموعہ: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$۔
• دائیں ریمان مجموعہ: $x_i^* = a + i \Delta x$۔
• وسطی نقطہ قاعدہ: ذیلی وقفے کا وسطی نقطہ (زیادہ درست)۔

جب $n \to \infty$ (مستطیل بے حد پتلے ہو جاتے ہیں)، اگر $f$ قابلِ تکمیل ہو تو ریمان مجموعہ معیّن تکمیل کی طرف متقارب ہوتا ہے:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

تکمیل کی یہ تعریف غیر متصل جمع اور متصل رقبے کو آپس میں جوڑتی ہے، اور تکمیل کے اشارے $\int$ کو جمع کے لیے ایک "کھنچے ہوئے S" کے طور پر متحرک کرتی ہے۔ ریمان مجموعے ہر عددی تکمیل (سہ رخی قاعدہ، سمپسن کا قاعدہ) کی بنیاد بھی ہیں۔