بہینہ سازی (کیلکولس)

بہینہ سازی کسی فنکشن کی زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم قدریں تلاش کرنے کا طریقہ ہے۔ معیاری طریقۂ کار:

1. مسئلے کے بیان سے وہ فنکشن $f(x)$ ترتیب دیں جسے زیادہ/کم کرنا ہے۔
2. $f'(x)$ حاصل کرنے کے لیے تفریق کریں۔
3. نازک نقاط معلوم کریں: $f'(x) = 0$ حل کریں (اور یہ بھی پہچانیں جہاں $f'$ موجود نہیں)۔
4. ہر ایک کی درجہ بندی کریں: دوسری مشتق کا امتحان ($f''(c) > 0$ ← کم سے کم؛ $< 0$ ← زیادہ سے زیادہ)، یا پہلی مشتق کے اشارے کی تبدیلی۔
5. اگر بند وقفے پر ہو تو سروں سے موازنہ کریں (انتہائی قدر کا مسئلہ)۔

کلاسیکی مسائل: دائرے میں سب سے بڑا مستطیل، ایک مقررہ حجم رکھنے والا سب سے سستا اسطوانی ڈبہ، مربع چادر سے بنایا گیا زیادہ سے زیادہ حجم والا صندوق۔

کثیر متغیر بہینہ سازی گریڈینٹ ($\nabla f = \vec{0}$) اور ہیشین میٹرکس استعمال کرتی ہے۔ قیود کے ساتھ بہینہ سازی لاگرانج ضرب کنندہ استعمال کرتی ہے۔ یہ تکنیک انجینئرنگ ڈیزائن، معاشیات اور ML تربیت کی بنیاد ہے۔