Math Glossary

余割は正弦の逆数である：csc(θ) = 1/sin(θ)。定義域は sin = 0 となる角（すなわち π の整数倍）を除く。

余接は正接の逆数である：cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)。定義域は sin = 0 となる角度を除く。

p値とは、帰無仮説が真であると仮定したとき、標本と少なくとも同程度に極端なデータが観測される確率である。p値が小さいことは H₀ に反する証拠を意味する。

正割は余弦の逆数である：sec(θ) = 1/cos(θ)。定義域は cos = 0 となる角度（π/2 + kπ）を除く。

t 分布は正規分布のように釣鐘型だが、裾がより重い。標本サイズが小さい、または σ が未知のときに、平均についての推論に用いる。

z 得点は、ある値が平均からどれだけ標準偏差の単位で上または下にあるかを測る。z = (x − μ) / σ。異なる分布間で値を比較したり確率を求めたりするのに使う。

カイ二乗検定はカテゴリデータにおいて観測度数と期待度数を比較する。χ² = Σ(O−E)²/E。適合度検定や独立性の検定に用いられる。

テイラー級数は、滑らかな関数を、一点におけるその導関数から構成される無限次の多項式として近似する。打ち切ると多項式近似が得られる。

第 k パーセンタイルとは、観測値の k% がそれより下に位置する値である。第 50 パーセンタイルは中央値、第 25 と第 75 は四分位数である。

ピタゴラスの定理は、任意の直角三角形において斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しいことを述べる：a² + b² = c²。

ベイズの定理は条件付き確率を逆転させる：P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)。ベイズ推論、医療検査、機械学習の基礎である。

ベクトルとは、大きさと向きの両方をもつ量である。記法：⟨x, y⟩ または ⟨x, y, z⟩。ベクトルは成分ごとに加算され、物理学・グラフィックス・機械学習を支える。

ラジアンは、長さが半径に等しい弧が張る角である。一周は 2π ラジアン（≈ 6.28）。微積分で必須の単位である。

リーマン和は、領域を長方形に分割して曲線の下の面積を近似する。長方形が細くなるにつれて、和は定積分に収束する。

ロピタルの定理は、0/0 または ∞/∞ の形の不定形の極限を、導関数の比の極限に置き換えることで解決する。

一次方程式は、グラフが直線になる方程式である。一変数では ax + b = 0、二変数では ax + by = c となる。

三角形は3辺を持つ多角形で、その内角の和は常に180°である。辺（正三角形、二等辺三角形、不等辺三角形）または角（鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形）によって分類される。

三角関数の恒等式は、三角関数どうしを結びつけ、有効なすべての角度で成り立つ等式である。例：sin²θ + cos²θ = 1。式の簡約や方程式を解くのに用いられる。

三項式は項がちょうど 3 つの多項式である。例：x² + 5x + 6。因数分解の練習で最もよく現れる種類である。

不等式は、<、≤、>、≥ を用いて二つの式を比較する。解は数直線上の区間、または区間の和集合をなす。

中央値は、並べ替えたデータセットの真ん中の値である。データ数が偶数の場合は、中央の2つの値の平均をとる。外れ値に対して頑健である。

二次方程式は1変数の2次の多項式方程式で、a ≠ 0 のとき ax² + bx + c = 0 と書かれる。そのグラフは放物線である。

二項式は項がちょうど 2 つの多項式である。例：x + 3 や 2x² - 5。単項式（1 項）や三項式（3 項）と区別される。

仮説検定は標本データを用いて、母集団に関する 2 つの対立する主張のどちらかを選ぶ手法である。検定統計量を計算し、p 値が小さければ帰無仮説を棄却する。

位相のずれは周期関数の水平方向の平行移動である。y = sin(Bx + C) に対して、位相のずれは -C/B である（正 = 右、負 = 左）。

体積は、立体が占める 3 次元空間を測る。単位は立方（cm³、m³）である。各図形にはそれぞれ固有の公式があり、微積分は積分によってこれを一般化する。

余弦定理はピタゴラスの定理を任意の三角形へ一般化する：c² = a² + b² − 2ab cos(C)。SSS または SAS の三角形問題に用いる。

係数とは、代数式において変数に掛かる数値的な因子である。5x² では係数は 5 である。

信頼区間は母集団のパラメータについて妥当な値の範囲を与える。明示された信頼水準（例：95%）は、その手順の長期的な信頼性を表す。

偏微分は、多変数関数において一つの変数だけを変化させ、他を一定に保ったときに関数がどう変化するかを測る。記号は ∂f/∂x。

円は、ある中心から等距離にある平面上のすべての点の集合である。その一定の距離が半径であり、中心を通る最も長い弦が直径（半径の2倍）である。

微積分における最適化とは、関数の最大値または最小値を求めることである。f'(x) = 0 とおいて臨界点を求め、それが極大か極小かを判定する。

最頻値は、データセットの中で最も頻繁に現れる値である。データセットは、最頻値が一つの場合、複数の場合、または存在しない場合がある。カテゴリデータに有用である。

分散はデータセットが平均の周りにどれだけ散らばっているかを測る。偏差の二乗の平均である。標準偏差は分散の平方根である。

多変数関数 f(x,y,...) の勾配は偏微分を並べたベクトルである。最も急に増加する方向を指し、勾配降下法の基礎となる。

単位円は原点を中心とする半径 1 の円である。鋭角だけでなく、すべての実数の角に対して三角関数を定義する。

数列や級数は有限の極限に近づくならば収束する。そうでなければ発散する。収束判定法によってどちらの場合かを判定する。

台形とは、少なくとも 1 組の平行な辺（上底・下底と呼ぶ）をもつ四角形である。面積 = (1/2)(b₁+b₂)h。

2 つの図形は、一方を剛体運動（平行移動・回転・反転）によって他方に重ねられるとき合同である——形も大きさも同じ。

周の長さは、2 次元図形の外周の合計の長さである。円の場合、周の長さは円周と呼ばれる：C = 2πr。

周期は、三角関数が 1 つの完全な周期を終えるまでの横方向の長さである。sin と cos の周期は 2π、tan の周期は π である。

四分位数はデータセットを 4 つの等しい部分に分ける。Q1（第 25 パーセンタイル）、Q2（中央値、第 50 パーセンタイル）、Q3（第 75 パーセンタイル）。四分位範囲 Q3−Q1 はばらつきの頑健な指標である。

ベクトル場の回転は局所的な回転を測る。∇×F は回転軸の向きを指し、その大きさは回転の速さに比例するベクトルを与える。

式を因数分解するとは、それをより単純な式の積に書き直すことである。例：x²+5x+6 = (x+2)(x+3)。展開の逆操作である。

多角形は直線の辺で囲まれた閉じた 2 次元図形である。代表的な種類：三角形（3）、四角形（4）、五角形（5）、六角形（6）など。

多項式とは項の和であり、各項は定数と非負整数乗された変数の積からなる。例：3x²+2x-7、x³-4x+1。

多項式の次数とは、その変数につく最も高い指数である。次数 1 = 一次、2 = 二次、3 = 三次、4 = 四次。

関数の定義域はすべての有効な入力の集合であり、値域はすべての可能な出力の集合である。両者を合わせると、その関数が何を写すかを完全に表す。

対数は指数演算の逆演算である。log_a(b) = c は a^c = b を意味し、「a を何乗すれば b になるか」に答える。

平均（算術平均）とは、値の集合の総和を値の個数で割ったものである。データ集合を1つの数で要約する最も一般的な指標である。

平均値の定理は、[a,b] 上の滑らかな関数について、f′(c) が平均変化率 (f(b)−f(a))/(b−a) に等しくなる点 c が存在することを述べる。

平行四辺形とは、2 組の対辺がともに平行な四角形である。長方形・ひし形・正方形を特別な場合として含む。

広義積分は、積分の限界が無限大であるか、または被積分関数が区間のどこかで非有界となる積分である。正規の積分の極限として評価する。

座標系は空間の各点に数を対応させる。2 次元では直交座標 (x, y) が最も一般的で、円対称がある場合には極座標 (r, θ) が用いられる。

微分（導関数）は関数の瞬間的な変化率を測る。これは関数のグラフ上のある一点における接線の傾きに等しい。

指数は、底をそれ自身で何回掛け合わせるかを表す。aⁿ において n が指数、a が底である。例：2³ = 2·2·2 = 8。

振幅とは、波がその中心から最大にずれる量である。y = A sin(Bx) の場合、振幅は |A| である。振幅が大きいほど波は高い。

接線は曲線にちょうど1点で接し、その点で曲線の向きに一致する直線である。円では、接線は接点における半径に垂直である。

有理式は分子と分母がともに多項式である分数である。例：(x²-1)/(x+2)。因数分解して共通因数を約分することで簡約する。

根号は累乗根を表す：√a は平方根、∛a は立方根、ⁿ√a は n 乗根である。根号は累乗の逆である。

極限とは、入力がある目標にいくらでも近づくとき、関数が近づいていく値を表す（必ずしもその値に達するとは限らない）。極限は微分と積分の両方の基礎となる。

標準偏差は、データ集合が平均の周りにどれだけ散らばっているかを測る。小さければ値は密集し、大きければ散らばっている。

正弦・余弦・正接は 3 つの基本的な三角関数であり、直角三角形の辺の比として定義され、単位円を通じてすべての実数へ拡張される。

正弦定理は、任意の三角形の辺と対角の正弦を結びつける：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

正規分布（ガウス分布）は、その平均 μ と標準偏差 σ によって完全に記述される釣鐘形の確率曲線である。統計学の多くの基礎をなす。

ベクトル場の発散は各点における正味の「湧き出し」を測る。∇·F > 0 は源（湧き出し）、< 0 は吸い込みを表す。流体力学や電磁気学の基礎となる。

一方が他方を拡大・縮小した図形であるとき、2 つの図形は相似である。形は同じで大きさは異なってよい。対応するすべての角は等しく、対応するすべての辺は比例する。

相関は 2 つの変数の間の線形関係の強さと向きを測る。ピアソンの係数 r は $[-1, 1]$ の範囲をとり、1 = 完全な正の相関、-1 = 完全な負の相関、0 = 線形関係なし、を表す。

積分は和の連続版であり、最もよく使われるのは曲線下の面積である。定積分は数値を、不定積分は原始関数（不定積分関数）を与える。

級数は数列の和であり、有限の場合も無限の場合もある。無限級数が有限の値に収束するかどうかは収束判定法によって決まる。

絶対値 |x| は、数直線上での x から 0 までの距離であり、常に非負である。|3| = 3、|-3| = 3。

線形回帰はデータに直線 y = mx + b を当てはめる。この直線は、各点までの鉛直距離の二乗和を最小にする（最小二乗法）。

表面積は、3 次元立体のすべての面の合計面積である。体積とは異なり、表面積は平方単位（cm²）、体積は立方単位で表される。

角は、共通の端点（頂点）を持つ2本の半直線の間の回転量を測る。一般的な単位：度（一周 = 360°）とラジアン（一周 = 2π）。

逆三角関数（arcsin、arccos、arctan）は、三角比から角を求める関数である。arcsin(y) = x は sin(x) = y を意味し、出力の範囲は制限される。

関数がある点で連続であるとは、その点での値が、入力がその点に近づくときの値の極限に等しいことをいう——飛び、穴、漸近線がない状態。

関数とは、各入力に対してちょうど1つの出力を割り当てる規則である。記法：f(x) = ... は「x を入力としたときの f の出力」を意味する。

関連変化率の問題は、ある方程式で結ばれた 2 つ以上の変数の変化率を関係づける。時間に関する陰関数微分を用いる。

陰関数微分法は、y が方程式（x²+y²=25 など）によって陰に定義されているとき、まず y について解かずに dy/dx を求める手法である。

面積は2次元の領域の大きさ——どれだけの面を覆うか——を測る。単位は平方（cm²、m²）である。図形ごとに固有の面積の公式がある。