リーマン和

リーマン和は、区間を幅 $\Delta x = (b-a)/n$ の $n$ 個の小区間に分け、$n$ 個の長方形の面積を足し合わせることで、$[a, b]$ 上の曲線 $y = f(x)$ の下の面積を近似する：

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

ここで $x_i^*$ は第 $i$ 小区間内の標本点である。よく使われる選び方：

• 左リーマン和：$x_i^* = a + (i-1)\Delta x$。
• 右リーマン和：$x_i^* = a + i \Delta x$。
• 中点則：小区間の中点（より正確）。

$n \to \infty$ のとき（長方形が限りなく細くなる）、$f$ が積分可能であれば、リーマン和は定積分に収束する：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

この積分の定義は、離散的な和と連続的な面積を結びつけ、積分記号 $\int$ が和（sum）の「引き伸ばされた S」であることの動機となっている。リーマン和は、あらゆる数値積分（台形則、シンプソン則）の土台でもある。