広義積分

広義積分は次の少なくとも一方をもつ。

1. 無限の限界：$\int_a^\infty f(x) \, dx$ または $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$。
2. $[a, b]$ のどこかで非有界な被積分関数（垂直漸近線）。

いずれも正規の積分の極限として評価する。

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

有限であれば収束し、そうでなければ発散する。

有名な例：

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗（より遅い減衰は発散する）
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ —— ガウス積分。

収束判定法（比較判定法、p 判定法）によって、そもそも積分する価値があるかを判断する。広義積分は確率論（確率密度関数の正規化）、フーリエ変換、物理学に現れる。