発散（ベクトル解析）

発散は $\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)$ に対するスカラー演算である。

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

物理的意味：$(\nabla \cdot \vec{F})(p)$ は点 $p$ における単位体積あたりの $\vec{F}$ の正味の湧き出し率を測る。

• $> 0$：正味の源（流体が広がる、正の電荷密度）。
• $< 0$：吸い込み。
• $= 0$：非圧縮場（圧縮を伴わずに流れる水）。

発散定理（ガウスの定理）は、ある領域における発散をその境界を通る流束と結びつける——ベクトル解析の四大定理の一つである。流体力学、電磁気学（マクスウェル方程式）、量子力学における確率流の基礎となる。