絶対値

実数 $x$ の絶対値は $|x|$ と書き、数直線上での $0$ からの距離であり、常に非負である。形式的な定義：

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

主な規則：

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$（$b \neq 0$ のとき）
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — 三角不等式。

$|x - 3| = 5$ を解くには両方の場合を考える必要がある：$x - 3 = 5$ または $x - 3 = -5$ より、$x = 8$ または $x = -2$。

一般化：複素平面では $|z|$ は2次元での $0$ からの距離である。ベクトル空間では $|\vec{v}|$ はノルムとなる。絶対値は「大きさ」や「距離」が意味をもつ任意の構造へと一般化される。