テイラー級数

点 $a$ のまわりにおける関数 $f$ のテイラー級数は

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

である。$a = 0$ のとき、この級数はマクローリン級数と呼ばれる。

有名な展開：

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$（$|x| < 1$ のとき）。

級数を次数 $n$ で打ち切ると、多項式近似が得られる。これは電卓が内部で三角関数や指数関数を計算する仕組みであり、物理学が「微小角」や「低速度」のふるまいを近似する方法でもある。テイラー級数は、関数が無限回微分可能であり剰余項がゼロに収束する場所であれば、どこでも存在する。