最適化（微積分）

最適化とは、関数の最大値または最小値を求める手法である。標準的な手順は次のとおり。

1. 問題文から、最大化／最小化したい関数 $f(x)$ を立式する。
2. 微分して $f'(x)$ を求める。
3. 臨界点を求める：$f'(x) = 0$ を解く（さらに $f'$ が存在しない点も特定する）。
4. 各点を分類する：2 階微分判定法（$f''(c) > 0$ → 極小、$< 0$ → 極大）、または 1 階微分の符号変化を用いる。
5. 閉区間上であれば端点と比較する（最大値・最小値の定理）。

代表的な問題：円に内接する最大の長方形、一定の体積を保つ最も安価な円柱缶、正方形の板から作る体積最大の箱。

多変数の最適化では勾配（$\nabla f = \vec{0}$）とヘッセ行列を用いる。制約付き最適化ではラグランジュの未定乗数法を用いる。この技法は工学設計、経済学、機械学習の学習（トレーニング）の基礎となっている。