級数（無限和）

級数は数列の項の和である。有限級数 $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ は単なる通常の足し算である。無限級数 $\sum_{i=1}^\infty a_i$ は、$n \to \infty$ のときの部分和 $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ の極限である。

$\lim_{n\to\infty} S_n$ が存在して有限であれば級数は収束し、そうでなければ発散する。有名な例：

• 等比級数 $\sum r^n$ は $|r| < 1$ のとき $\frac{1}{1-r}$ に収束する。
• 調和級数 $\sum \frac{1}{n}$ は（ゆっくりと）発散する。
• バーゼル問題：$\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。

収束は各種の判定法で決まる：比判定法、根判定法、積分判定法、比較判定法、交項級数判定法。テイラー級数は関数を任意に高い次数の多項式で近似する——数値解析や物理学の近似の基礎である。