収束

収束とは、数列や級数が有限の極限に近づくことを表す。

数列：任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $N$ が存在して $n > N$ のすべての $n$ で $|a_n - L| < \varepsilon$ となるとき、$\{a_n\}$ は $L$ に収束する。

級数：部分和 $S_n$ が収束するとき、$\sum a_n$ は収束する。

標準的な判定法：

• 第 n 項判定法：$a_n \not\to 0$ → 発散。
• 等比級数：$\sum r^n$ は $|r| < 1$ のとき、かつそのときに限り収束する。
• 比較判定法：既知の級数で上から押さえる。
• 比判定法：$\lim |a_{n+1}/a_n| < 1$ → 収束。
• 積分判定法：$\sum a_n$ を $\int_1^\infty f(x) dx$ と結びつける。
• 交項級数判定法：$b_n$ が単調に $0$ に近づくならば $\sum (-1)^n b_n$ は収束する。

絶対収束（$\sum |a_n|$ が収束）は条件収束より強い。調和級数 $\sum 1/n$ は発散するが、$\sum (-1)^n/n$ は収束する（交項）。