平均値の定理

平均値の定理（MVT）は微積分の基礎的な結果である。$f$ が $[a, b]$ 上で連続かつ $(a, b)$ 上で微分可能ならば、次を満たす点 $c \in (a, b)$ が少なくとも1つ存在する。

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

幾何学的には：$c$ における接線は、$(a, f(a))$ と $(b, f(b))$ を通る割線に平行である。

直観（運転のたとえ）：1時間で60マイル進むと平均速度は時速60マイルである。MVT はある瞬間に瞬間速度がちょうど時速60マイルだったことを保証する。

MVT は次を支える原動力である：

• 増加・減少の判定（$f' > 0 \implies$ 増加）。
• 微積分学の基本定理の証明。
• 数値計算における誤差の評価（剰余項つきテイラーの定理）。
• 微分方程式の一意性定理。

特別な場合（$f(a) = f(b)$）がロルの定理である：$f'(c) = 0$ となる $c$ が存在する。