余弦定理

余弦定理はピタゴラスの定理を任意の三角形へ一般化する：

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

ここで $c$ は角 $C$ の対辺、$a, b$ は他の 2 辺である。対称的に：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$。

特別な場合：$C = 90°$ のとき $\cos 90° = 0$ となり、式は $c^2 = a^2 + b^2$——ピタゴラスの定理——に帰着する。

用途：

• SSS：3 辺が与えられたとき角を求める：$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。
• SAS：2 辺とそのはさむ角が与えられたとき、第 3 辺を直接求める。

正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ と対をなす。両者を合わせると三角形を解く 4 つの場合（SSS、SAS、ASA、AAS）すべてに対応できる——SSA（あいまいな場合）だけは特別な注意を要する。

余弦定理はベクトル解析における内積の幾何学的な起源でもある：$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$。