AI Math
アプリを開く
geometry

ベクトル

ベクトルとは、大きさと向きの両方をもつ量である。記法：⟨x, y⟩ または ⟨x, y, z⟩。ベクトルは成分ごとに加算され、物理学・グラフィックス・機械学習を支える。

ベクトルは大きさと向きの両方をもつ。一方、大きさのみをもつものをスカラーという。

座標：v⃗=⟨x,y⟩\vec{v} = \langle x, y \rangle（2 次元）または ⟨x,y,z⟩\langle x, y, z \rangle（3 次元）。大きさ ∣v⃗∣=x2+y2+⋯|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}。

演算：

  • 加法・減法：成分ごとに行う。
  • スカラー倍：大きさをスケーリングする。
  • 内積：u⃗⋅v⃗=∑uivi=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta——整列の度合いを測り、スカラーを与える。
  • 外積（3 次元のみ）：u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}——両方に垂直で、大きさは ∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta。

ベクトルは物理学（力、速度）、グラフィックス（位置、法線）、機械学習（特徴ベクトル、勾配、埋め込み）、幾何学を記述する。より高い次元や抽象的な空間（ヒルベルト空間）への一般化は、現代数学の多くの基礎となっている。