ベクトル

ベクトルは大きさと向きの両方をもつ。一方、大きさのみをもつものをスカラーという。

座標：$\vec{v} = \langle x, y \rangle$（2 次元）または $\langle x, y, z \rangle$（3 次元）。大きさ $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + \cdots}$。

演算：

• 加法・減法：成分ごとに行う。
• スカラー倍：大きさをスケーリングする。
• 内積：$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum u_i v_i = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$——整列の度合いを測り、スカラーを与える。
• 外積（3 次元のみ）：$\vec{u} \times \vec{v}$——両方に垂直で、大きさは $|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta$。

ベクトルは物理学（力、速度）、グラフィックス（位置、法線）、機械学習（特徴ベクトル、勾配、埋め込み）、幾何学を記述する。より高い次元や抽象的な空間（ヒルベルト空間）への一般化は、現代数学の多くの基礎となっている。