陰関数微分法

陰関数微分法は、$y$ が方程式によって陰に定義されているとき、まず $y$ について明示的に解かずに $\frac{dy}{dx}$ を求める手法である。$y$ について解くのが困難または不可能なときに特に有用である。

手順：方程式の両辺を $x$ について微分し、$y$ を $x$ の関数とみなす（よって各 $y$ の項には連鎖律により $\frac{dy}{dx}$ が付く）。そのうえで $\frac{dy}{dx}$ について解く。

例：$x^2 + y^2 = 25$（円）について：

1. 両辺を微分：$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$。
2. 解く：$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$。

これにより、$y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ を必要とせずに、円上の任意の点での傾きが得られる。

陰関数微分法は次のための標準的な道具である：

• 関数のグラフではない曲線の接線。
• 関連変化率の問題（円錐に水を満たす、壁を滑り落ちるはしご）。
• 逆関数の微分（$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の導出にこれを用いる）。
• 微分方程式や、ある量が一定である曲線（等位曲線）を解くこと。