相関

相関は 2 つの変数 $X$ と $Y$ の間の線形関係の強さと向きを測る。ピアソンの相関係数：

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}} \in [-1, 1]$

解釈：

• $r = 1$：完全な正の線形関係。
• $r = -1$：完全な負の線形関係。
• $r = 0$：線形関係なし（ただし非線形の関係はあり得る！）。
• $|r| > 0.7$：強い；$0.3 < |r| < 0.7$：中程度；$|r| < 0.3$：弱い。

重要な注意点：

• 相関は因果ではない。アイスクリームの売上は溺死者数と相関する——どちらも暑い天候によって引き起こされる。
• 外れ値に敏感。たった 1 つの極端な点が $r$ を反転させ得る。
• 線形のみ。完全な二次関係 $y = x^2$ は対称なデータの周りでは $r \approx 0$ となる。

順位や非線形の単調な関係にはスピアマンの $\rho$ を、カテゴリ間の関連にはカイ二乗やクラメールの V を用いる。