連続性

関数 $f$ が $x = a$ で連続であるとは、次の3つの条件が成り立つことをいう：

1. $f(a)$ が定義されている、
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する、かつ
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

直感的には、その点を通るグラフをペンを離さずに描けるということである。よくある不連続には、除去可能（穴）、跳躍（左極限と右極限が異なる）、無限（垂直漸近線）がある。

連続性はほとんどの微積分の定理の前提となる入口条件である。中間値の定理は、連続関数が任意の2つの出力値の間のすべての値をとることを述べる。最大値・最小値の定理は、閉区間上の連続関数が最大値と最小値をとることを保証する。微分可能性は連続性を要求するが、連続性は微分可能性を意味しない——$|x|$ はいたるところで連続だが $0$ では微分できない。