Math Glossary

Косеканс — это величина, обратная синусу: csc(θ) = 1/sin(θ). Его область определения исключает углы, где sin = 0 (то есть кратные π).

Котангенс — это величина, обратная тангенсу: cot(θ) = cos(θ)/sin(θ). Область определения исключает углы, где sin = 0.

p-значение — это вероятность наблюдать данные, по крайней мере столь же экстремальные, как ваша выборка, при условии, что нулевая гипотеза верна. Малое p означает свидетельство против H₀.

Секанс — это величина, обратная косинусу: sec(θ) = 1/cos(θ). Область определения исключает углы, где cos = 0 (π/2 + kπ).

Z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение находится выше или ниже среднего. z = (x − μ) / σ. Используется для сравнения значений между распределениями и поиска вероятностей.

Амплитуда — это максимальное отклонение волны от её центра. Для y = A sin(Bx) амплитуда равна |A|. Чем больше амплитуда, тем выше волна.

Вектор — это величина, обладающая как модулем, так и направлением. Обозначение: ⟨x, y⟩ или ⟨x, y, z⟩. Векторы складываются покомпонентно и лежат в основе физики, графики и машинного обучения.

Градиент функции нескольких переменных f(x,y,...) — это вектор частных производных. Он указывает в направлении наискорейшего возрастания и является основой градиентного спуска.

Двучлен — это многочлен ровно из двух членов, например x + 3 или 2x² - 5. Отличается от одночленов (1 член) и трёхчленов (3 члена).

Дивергенция векторного поля измеряет чистый «отток» в каждой точке. ∇·F > 0 означает источник; < 0 — сток. Основа гидродинамики и электромагнетизма.

Дисперсия измеряет разброс набора данных вокруг его среднего. Это среднее квадратов отклонений. Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии.

Доверительный интервал даёт диапазон правдоподобных значений для параметра генеральной совокупности с заявленным уровнем доверия (например, 95 %), который описывает долгосрочную надёжность процедуры.

Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Она определяет тригонометрические функции для всех действительных углов, а не только для острых.

Интеграл — это непрерывный аналог суммирования, чаще всего площадь под кривой. Определённые интегралы дают числа; неопределённые — первообразные функции.

Касательная прямая касается кривой ровно в одной точке и совпадает с направлением кривой в этой точке. Для окружностей касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени с одной переменной вида ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0. Его график — парабола.

Квартили делят набор данных на четыре равные части. Q1 (25-й процентиль), Q2 (медиана, 50-й), Q3 (75-й). Межквартильный размах Q3-Q1 — устойчивая мера разброса.

Система координат сопоставляет числа точкам пространства. Декартова (x, y) наиболее распространена в 2D; полярная (r, θ) используется при круговой симметрии.

Корреляция измеряет силу и направление линейной связи между двумя переменными. Коэффициент Пирсона r лежит в [-1, 1]: 1 = идеальная положительная, -1 = идеальная отрицательная, 0 = нет линейной связи.

Коэффициент — это числовой множитель перед переменной в алгебраическом выражении. В 5x² коэффициент равен 5.

Критерий хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты с ожидаемыми для категориальных данных. χ² = Σ(O−E)²/E. Используется для проверки согласия и независимости.

Линейная регрессия подгоняет к данным прямую: y = mx + b. Прямая минимизирует сумму квадратов вертикальных расстояний до точек (метод наименьших квадратов).

Линейное уравнение — это уравнение, графиком которого является прямая. С одной переменной: ax + b = 0. С двумя переменными: ax + by = c.

Логарифм — операция, обратная возведению в степень: log_a(b) = c означает a^c = b. Он отвечает на вопрос «в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b?»

Медиана — это среднее значение упорядоченного набора данных. При чётном количестве данных она равна среднему арифметическому двух центральных значений. Устойчива к выбросам.

Многоугольник — это замкнутая двумерная фигура с прямыми сторонами. Распространённые виды: треугольник (3), четырёхугольник (4), пятиугольник (5), шестиугольник (6) и так далее.

Многочлен — это сумма членов, каждый из которых есть константа, умноженная на переменную в неотрицательной целой степени. Примеры: 3x²+2x-7, x³-4x+1.

Мода — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. У набора данных может быть одна мода, несколько мод или ни одной. Полезна для категориальных данных.

Модуль |x| — это расстояние от x до 0 на числовой прямой; он всегда неотрицателен. |3| = 3, |-3| = 3.

Функция непрерывна в точке, если её значение в этой точке равно пределу её значений при стремлении аргумента к этой точке — без скачков, разрывов и асимптот.

Неравенство сравнивает два выражения с помощью <, ≤, > или ≥. Решения образуют промежутки или объединения промежутков на числовой прямой.

Несобственный интеграл имеет либо бесконечный предел интегрирования, либо подынтегральную функцию, неограниченную где-то на промежутке. Вычисляется как предел собственных интегралов.

Неявное дифференцирование находит dy/dx, когда y задан неявно уравнением (например, x²+y²=25), без предварительного выражения y.

Нормальное (гауссово) распределение — это колоколообразная кривая вероятности, полностью описываемая своим средним μ и стандартным отклонением σ. Основа значительной части статистики.

Область определения функции — это множество всех допустимых входных значений; область значений — это множество всех возможных выходных значений. Вместе они полностью описывают то, что отображает функция.

Обратные тригонометрические функции (arcsin, arccos, arctan) восстанавливают угол по тригонометрическому отношению. arcsin(y) = x означает sin(x) = y при ограниченной области значений.

Объём измеряет трёхмерное пространство, занимаемое телом. Единицы измерения — кубические (см³, м³). У каждой фигуры своя формула; математический анализ обобщает это через интегрирование.

Окружность — это множество всех точек плоскости, равноудалённых от центра. Постоянное расстояние называется радиусом; самая длинная хорда, проходящая через центр, — это диаметр (2× радиус).

Оптимизация в математическом анализе означает поиск максимальных или минимальных значений функции. Приравнивают f'(x) = 0, чтобы найти критические точки, а затем проверяют их на максимум/минимум.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Прямоугольники, ромбы и квадраты входят в него как частные случаи.

Периметр — это полная длина границы плоской фигуры. У окружности периметр называется длиной окружности: C = 2πr.

Период — это горизонтальная длина, на которой тригонометрическая функция совершает один полный цикл. У sin и cos период 2π; у tan период π.

Площадь измеряет размер двумерной области — какую поверхность она покрывает. Единицы измерения квадратные (см², м²). Каждая фигура имеет свою формулу площади.

Площадь поверхности — это суммарная площадь всех граней трёхмерного тела. В отличие от объёма: площадь поверхности измеряется в квадратных единицах (см²), а объём — в кубических.

Две фигуры подобны, если одна является масштабированной копией другой — та же форма, возможно, иной размер. Все соответственные углы равны; все соответственные стороны пропорциональны.

Показатель степени указывает, сколько раз основание умножается само на себя. В aⁿ число n — показатель степени, а a — основание. Пример: 2³ = 2·2·2 = 8.

Правило Лопиталя разрешает неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, заменяя предел пределом отношения производных.

Предел описывает значение, к которому стремится функция, когда её аргумент сколь угодно близко приближается к цели, не обязательно её достигая. Пределы лежат в основе и производных, и интегралов.

Проверка статистических гипотез выбирает между двумя конкурирующими утверждениями о генеральной совокупности на основе выборочных данных. Мы вычисляем статистику критерия и отвергаем нулевую гипотезу, если p-значение мало.

Производная измеряет мгновенную скорость изменения функции — иначе говоря, угловой коэффициент касательной к графику функции в одной точке.

k-й процентиль — это значение, ниже которого находится k % наблюдений. 50-й процентиль — это медиана; 25-й и 75-й — это квартили.

Две фигуры равны (конгруэнтны), если одну можно перевести в другую движением (параллельный перенос, поворот, отражение) — одинаковая форма И одинаковый размер.

Радиан — это угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Полная окружность составляет 2π радиан (≈ 6,28). Обязательная единица в математическом анализе.

Радикал обозначает корень: √a — это квадратный корень, ∛a — кубический корень, а ⁿ√a — корень n-й степени. Радикалы обратны возведению в степень.

Разложить выражение на множители значит переписать его в виде произведения более простых выражений, например x²+5x+6 = (x+2)(x+3). Это операция, обратная раскрытию скобок.

Распределение Стьюдента колоколообразно, как нормальное, но с более тяжёлыми хвостами. Применяется для вывода о средних, когда объём выборки мал или σ неизвестно.

Рациональное выражение — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются многочленами, например (x²-1)/(x+2). Упрощается разложением на множители и сокращением общих множителей.

Ротор векторного поля измеряет локальное вращение. ∇×F даёт вектор, направленный вдоль оси вращения, с модулем, пропорциональным скорости вращения.

Ряд — это сумма последовательности, конечная или бесконечная. Сходится ли бесконечный ряд к конечному числу, определяют признаки сходимости.

Ряд Тейлора приближает гладкую функцию бесконечным многочленом, построенным по её производным в одной точке. Усечение даёт полиномиальные приближения.

Задачи на связанные скорости изменения связывают скорости изменения двух или более переменных, соединённых уравнением. Используют неявное дифференцирование по времени.

Сдвиг фазы — это горизонтальный перенос периодической функции. Для y = sin(Bx + C) сдвиг фазы равен -C/B (положительный = вправо, отрицательный = влево).

Синус, косинус и тангенс — это три основные тригонометрические функции, определяемые как отношения сторон прямоугольного треугольника и распространяемые на все вещественные числа с помощью единичной окружности.

Среднее (среднее арифметическое) — это сумма набора значений, делённая на их количество. Это самая распространённая числовая сводка набора данных.

Стандартное отклонение измеряет, насколько данные разбросаны вокруг своего среднего. Малое отклонение означает, что значения сгруппированы; большое — что они рассеяны.

Степень многочлена — это наибольший показатель степени его переменной. Степень 1 = линейный, 2 = квадратный, 3 = кубический, 4 = четвёртой степени.

Сумма Римана приближает площадь под кривой, разбивая область на прямоугольники. По мере того как прямоугольники становятся всё уже, сумма сходится к определённому интегралу.

Последовательность или ряд сходится, если приближается к конечному пределу. В противном случае расходится. Признаки сходимости определяют, какой случай имеет место.

Теорема Байеса обращает условные вероятности: P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B). Это основа байесовского вывода, медицинского тестирования и машинного обучения.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник: c² = a² + b² − 2ab cos(C). Применяется для задач о треугольнике типа ССС или СУС.

Теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что для гладкой функции на [a,b] существует точка c, в которой f′(c) равна средней скорости изменения (f(b)−f(a))/(b−a).

Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон: a² + b² = c².

Теорема синусов связывает стороны любого треугольника с синусами противолежащих углов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C).

Трапеция — это четырёхугольник, имеющий по крайней мере одну пару параллельных сторон (называемых основаниями). Площадь = (1/2)(b₁+b₂)h.

Треугольник — это многоугольник с тремя сторонами, внутренние углы которого всегда в сумме дают 180°. Классифицируется по сторонам (равносторонний, равнобедренный, разносторонний) или по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).

Трёхчлен — это многочлен ровно из трёх членов, например x² + 5x + 6. Это наиболее часто встречающийся вид при отработке разложения на множители.

Тригонометрические тождества — это уравнения, связывающие тригонометрические функции и верные для всех допустимых углов, напр. sin²θ + cos²θ = 1. Используются для упрощения выражений и решения уравнений.

Угол измеряет поворот между двумя лучами, имеющими общую начальную точку (вершину). Распространённые единицы: градусы (полный круг = 360°) и радианы (полный круг = 2π).

Функция — это правило, ставящее в соответствие каждому входу ровно один выход. Обозначение: f(x) = ... означает «выход f, когда x — вход».

Частная производная измеряет, как функция нескольких переменных изменяется при изменении только одной переменной, когда остальные остаются постоянными. Обозначение: ∂f/∂x.