Теорема косинусов

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольный треугольник:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

где $c$ — сторона, противолежащая углу $C$, а $a, b$ — две другие стороны. Симметрично: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$.

Частный случай: при $C = 90°$ имеем $\cos 90° = 0$, и формула сводится к $c^2 = a^2 + b^2$ — теореме Пифагора.

Случаи применения:

• ССС: по трём сторонам найти угол: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• СУС: по двум сторонам и углу между ними напрямую найти третью сторону.

Дополняет теорему синусов $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Вместе они охватывают все четыре случая решения треугольников (ССС, СУС, УСУ, УУС) — только ССУ (неоднозначный случай) требует дополнительной осторожности.

Теорема косинусов также является геометрическим источником скалярного произведения в векторном анализе: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$.