Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции восстанавливают угол по тригонометрическому отношению. Три основные:

• $\arcsin(y) = x$ означает $\sin(x) = y$, при $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
• $\arccos(y) = x$ означает $\cos(x) = y$, при $x \in [0, \pi]$.
• $\arctan(y) = x$ означает $\tan(x) = y$, при $x \in (-\pi/2, \pi/2)$.

Ограниченная область значений необходима, потому что $\sin$, $\cos$, $\tan$ не являются взаимно однозначными — многие углы имеют одно и то же тригонометрическое отношение. Ограничивая множество значений, мы получаем единственную обратную функцию.

Обозначение: $\sin^{-1}(x)$ — это то же самое, что $\arcsin(x)$, но не то же самое, что $1/\sin(x)$ (которое равно $\csc x$). Эта неоднозначность обозначений — частая ошибка учащихся.

Обратные тригонометрические функции возникают при решении задач о треугольниках (найти угол, когда известны стороны), в математическом анализе (их производные изящны: $\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$) и в физике (вычисление углов по координатам через $\arctan2$).