Непрерывность

Функция $f$ непрерывна в точке $x = a$, если выполнены три условия:

1. $f(a)$ определено,
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ существует, и
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Интуитивно: график можно провести через эту точку, не отрывая карандаша. Распространённые разрывы — устранимый (выколотая точка), скачок (левый и правый пределы различны) и бесконечный (вертикальная асимптота).

Непрерывность — базовое требование большинства теорем математического анализа. Теорема о промежуточном значении утверждает, что непрерывные функции принимают каждое значение между любыми двумя своими значениями. Теорема о наибольшем и наименьшем значении гарантирует, что непрерывная на замкнутом отрезке функция достигает максимума и минимума. Дифференцируемость требует непрерывности, но непрерывность не влечёт дифференцируемость — $|x|$ непрерывна всюду, но не дифференцируема в $0$.