Ряд Тейлора

Ряд Тейлора функции $f$ в окрестности точки $a$ имеет вид

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

При $a = 0$ ряд называется рядом Маклорена.

Известные разложения:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (при $|x| < 1$).

Усечение ряда на степени $n$ даёт полиномиальное приближение. Именно так калькуляторы внутри вычисляют тригонометрические и показательные функции, и так физика приближает поведение при «малом угле» или «малой скорости». Ряд Тейлора существует везде, где функция бесконечно дифференцируема и остаточный член стремится к нулю.