Сумма Римана приближает площадь под кривой $y = f(x)$ на $[a, b]$ , разбивая отрезок на $n$ подотрезков ширины $\Delta x = (b-a)/n$ и суммируя площади $n$ прямоугольников:

$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i^*) \, \Delta x$

где $x_i^*$ — выборочная точка в $i$ -м подотрезке. Распространённые варианты:

Левая сумма Римана: $x_i^* = a + (i-1)\Delta x$ .
Правая сумма Римана: $x_i^* = a + i \Delta x$ .
Правило средней точки: середина подотрезка (точнее).

При $n \to \infty$ (прямоугольники становятся сколь угодно узкими), если $f$ интегрируема, сумма Римана сходится к определённому интегралу:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Это определение интеграла связывает дискретное суммирование с непрерывной площадью и объясняет, почему знак интеграла $\int$ — это «вытянутая S», обозначающая сумму (sum). Суммы Римана также лежат в основе всех численных методов интегрирования (правило трапеций, правило Симпсона).