Область определения и область значений

Область определения функции $f$ — это множество всех входных значений $x$, для которых $f(x)$ определена. Область значений — это множество всех выходных значений, которые $f$ фактически принимает.

Распространённые ограничения области определения:

• Деление: $f(x) = 1/x$ исключает $x = 0$.
• Корни чётной степени: $f(x) = \sqrt{x}$ требует $x \geq 0$ в действительных числах.
• Логарифмы: $\ln(x)$ требует $x > 0$.

Найти область значений часто труднее, чем область определения, — нужно проанализировать поведение функции. Для многочленов определить область значений помогает математический анализ (производные, асимптотический анализ); для тригонометрических функций используют периодичность и ограниченную амплитуду (например, у $\sin x$ область значений $[-1, 1]$).

В программировании «область определения» / «область значений» становятся сигнатурами типов; в машинном обучении они описывают пространство входов и пространство выходов модели.