Несобственный интеграл

Несобственный интеграл обладает хотя бы одним из следующих свойств:

1. Бесконечный предел: $\int_a^\infty f(x) \, dx$ или $\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$.
2. Неограниченная подынтегральная функция где-то в $[a, b]$ (вертикальная асимптота).

Оба случая вычисляются как пределы собственных интегралов:

$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$

Если предел конечен, интеграл сходится; иначе расходится.

Знаменитые примеры:

• $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1$ ✓
• $\int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \infty$ ✗ (более медленное убывание расходится)
• $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ — интеграл Гаусса.

Признаки сходимости (признак сравнения, p-признак) позволяют решить, стоит ли вообще интегрировать. Несобственные интегралы встречаются в теории вероятностей (нормировка плотности распределения), преобразованиях Фурье и физике.