Модуль (абсолютная величина)

Модуль действительного числа $x$, обозначаемый $|x|$, — это его расстояние до $0$ на числовой прямой; он всегда неотрицателен. Формальное определение:

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

Основные правила:

• $|ab| = |a||b|$
• $|a/b| = |a|/|b|$ (при $b \neq 0$)
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — неравенство треугольника.

Решение $|x - 3| = 5$ требует рассмотрения обоих случаев: $x - 3 = 5$ или $x - 3 = -5$, что даёт $x = 8$ или $x = -2$.

Обобщения: на комплексной плоскости $|z|$ — это расстояние до $0$ в 2D. В векторных пространствах $|\vec{v}|$ становится нормой. Модуль обобщается на любую структуру, где имеют смысл понятия «величина» или «расстояние».