Теорема Лагранжа о среднем значении

Теорема Лагранжа о среднем значении — фундаментальный результат математического анализа. Если функция $f$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$, то существует хотя бы одна точка $c \in (a, b)$, такая что

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

Геометрически: касательная в точке $c$ параллельна секущей, проходящей через $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$.

Интуиция (аналогия с вождением): если вы проехали 60 миль за 1 час, ваша средняя скорость равна 60 миль/ч; теорема гарантирует, что в какой-то момент ваша мгновенная скорость была в точности равна 60 миль/ч.

Эта теорема — движущая сила, лежащая в основе:

• признака возрастания/убывания ($f' > 0 \implies$ возрастание);
• доказательства основной теоремы анализа;
• оценок погрешности в численных методах (формула Тейлора с остаточным членом);
• теорем единственности для дифференциальных уравнений.

Частный случай ($f(a) = f(b)$) — это теорема Ролля: существует точка $c$, в которой $f'(c) = 0$.