Неявное дифференцирование находит $\frac{dy}{dx}$ , когда $y$ задан неявно уравнением, без предварительного явного выражения $y$ . Оно особенно полезно, когда выразить $y$ трудно или невозможно.

Процедура: продифференцировать обе части уравнения по $x$ , считая $y$ функцией от $x$ (так что каждый член с $y$ получает множитель $\frac{dy}{dx}$ по правилу цепочки), затем разрешить относительно $\frac{dy}{dx}$ .

Пример: для $x^2 + y^2 = 25$ (окружность):

Дифференцируем обе части: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ .
Разрешаем: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

Это даёт угловой коэффициент в любой точке окружности без необходимости в $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ .

Неявное дифференцирование — стандартный инструмент для:

касательных к кривым, которые не являются графиками функций;
задач о связанных скоростях изменения (вода, наполняющая конус, лестница, скользящая по стене);
дифференцирования обратных функций (вывод формулы $\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ его использует);
решения дифференциальных уравнений и кривых с постоянным свойством (линии уровня).

Неявное дифференцирование

Неявное дифференцирование находит dy/dx, когда y задан неявно уравнением (например, x²+y²=25), без предварительного выражения y.