Дивергенция (векторный анализ)

Дивергенция — это скалярная операция над векторным полем $\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)$ в $\mathbb{R}^3$:

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

Физический смысл: $(\nabla \cdot \vec{F})(p)$ измеряет чистую скорость оттока поля $\vec{F}$ на единицу объёма в точке $p$.

• $> 0$: чистый источник (расширяющаяся жидкость, положительная плотность заряда).
• $< 0$: сток.
• $= 0$: несжимаемое поле (вода, текущая без сжатия).

Теорема о дивергенции (теорема Гаусса) связывает дивергенцию по области с потоком через её границу — одна из четырёх великих теорем векторного анализа. Лежит в основе гидродинамики, электромагнетизма (уравнения Максвелла) и плотности тока вероятности в квантовой механике.