Предел

Неформально $\lim_{x \to a} f(x) = L$ означает: когда $x$ сколь угодно близко приближается к $a$ (с любой стороны), $f(x)$ сколь угодно близко приближается к $L$. Функция не обязана быть определена в $a$, и даже если она определена, значение $f(a)$ не обязано равняться $L$.

Формальное определение $\varepsilon$-$\delta$ требует: для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$, такое что $|x - a| < \delta$ влечёт $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Пределы делают точным понятие «приближаться, но не равняться» — это движущая сила производных ($h \to 0$) и интегралов (суммы Римана с измельчением $\to 0$). Многие физические и экономические модели неявно опираются на рассуждения с пределами.